Κεφάλαιο 3 - Συναρτήσεις - Θεωρία

Συνάρτηση στα Μαθηματικά λέγεται μια σχέση που σε κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y .

Π.χ.

Φυσική Γλώσσα	Μισθός εργαζόμενου	Αύξηση	Ποσοστό αύξησης	Υπολογισμός αύξησης
Μαθηματικά	x	y	3%

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x».

Έτσι, μπορούμε να λέμε απλά ότι έχουμε ορίσει τη συνάρτηση y = 0,03x.

Συνάρτηση

y = 0,03x 

Πίνακας τιμών

Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y φαίνεται καλύτερα με τη βοήθεια του πίνακα τιμών.

Έτσι, για τη συνάρτηση y = 0,03x έχουμε:

Υπολογισμοί			Πίνακας τιμών
Για x = 700,	y = 0,03 • 700 = 21		x	700	800	1000
Για x = 800,	y = 0,03 • 800 = 24		y	21	24	30
Για x = 1000,	y = 0,03 • 000 = 30

Σε κάθε σημείο Μ αντιστοιχεί στο ζεύγος των αριθμών (3, 2) και συμβολίζεται M(3, 2).

Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς λέγεται τετμημένη του σημείου Μ

και

ο δεύτερος λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.

Η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου M.

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων

και, αντιστρόφως,

κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι άξονες x'x και y'y αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλώς σύστημα αξόνων.

 

Παρατήρησεις:

α) Στα προηγούμενα σχήματα χρησιμοποιήσαμε κάθετους άξονες των οποίων οι μονάδες μέτρησης έχουν το ίδιο μήκος. Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Όπως θα δούμε όμως παρακάτω, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται να χρησιμοποιήσουμε συστήματα αξόνων με διαφορετικού μήκους μονάδες μέτρησης στους άξονες x'x και y'y. Φυσικά, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό. Στα επόμενα σχήματα -εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά- λέγοντας σύστημα αξόνων θα εννοούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

β) Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια. Στο διπλανό σχήμα σημειώνονται τα πρόσημα της τετμημένης και της τεταγμένης σε κάθε τεταρτημόριο.

 Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής νομάζουμε το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y).

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δίνει μια «εποπτική» εικόνα της συνάρτησης αυτής

και

μας βοηθάει να αντλήσουμε χρήσιμες πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών x και y.

π.χ. Συνάρτηση 

Πίνακας Τιμών   Τα σημεία τώρα είναι περισσότερα και η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται μοιάζει με καμπύλη.

Ποσά ανάλογα λέγονται  δύο ποσά, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.

Π.χ.

Δίνονται τέσσερα τετράγωνα με πλευρές (σε cm) 0,5, 1, 1,5 και 2.

Πίνακας τιμών

Πλευρά  x	0,5	1	1.5	2
Περίμετρος y = 4x	2	4	6	8
Λόγος	4	4	4	4

 Παρατηρούμε ότι ο λόγος  είναι σταθερός πάντοτε και ίσος με 4.

Άρα = 4 ή

y = 4x   το y ως συνάρτηση του x.

Γενικά

 Η συνάρτηση y = αx εκφράζει δυο ποσά ανάλογα με σταθερό λόγο α .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

Geogebra συνάρτηση y=αx

 Όταν αναφερόμαστε στην ευθεία, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx,

τότε λέμε:

Η ευθεία με εξίσωση y = αx ή απλώς η ευθεία y = αx.

Ο άξονας x'x είναι η ευθεία με εξίσωση y= 0x, δηλαδή y = 0.

Παρατήρηση!!

Στην ευθεία y = αx ο λόγος   είναι πάντα σταθερός και ίσος με α,

δηλαδή:

O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx.

Για παράδειγμα, η ευθεία y = –2x έχει κλίση –2

Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β≠0 είναι μια ευθεία παράλληλη της ευθείας με εξίσωση y = αx,

που διέρχεται από το σημείο (0, β) του άξονα y'y.

 Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, θα λέμε: η ευθεία με εξίσωση y = αx + β ή απλώς η ευθεία y = αx + β.

Ο αριθμός α, που, όπως γνωρίζουμε, λέγεται κλίση της ευθείας y = αx, λέγεται και κλίση της ευθείας y = αx + β.

Δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών τους είναι σταθερό.

Αν α ≠ 0 είναι το σταθερό γινόμενο των x και y, τότε το y εκφράζεται ως συνάρτηση του x από τον τύπο

Σε δύο ανάλογα ποσά x και y, οι τιμές τους μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί.

	α>0
	α<0

H γραφική παράσταση της συνάρτησης    λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους 

που βρίσκονται:

Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α > 0. Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α < 0. Και στις δύο περιπτώσεις η γραφική παράσταση μιας υπερβολής έχει: Κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις y = x και y = –x.