Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ. x, y, t, ...) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου.

π.χ.

Αν στο κινητό τηλέφωνο κοστίζει η ομιλία 0,005€/sec (δευτερόλεπτο) μπορούμε να συμβολίζουμε με το γράμμα x τη διάρκεια του τηλεφωνήματος (σε δευτερόλεπτα).

Οπότε το κόστος για κάθε τηλεφώνημα διάρκειας x δευτερολέπτων είναι: 0,005·x   ευρώ.

Αριθμητική παράσταση

Αριθμητική παράσταση ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς. 

π.χ. 

Αλγεβρική παράσταση

Αλγεβρική παράσταση ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. 

π.χ. 

Με τη γνωστή επιμεριστική ιδιότητα   (α + β) · γ = α · γ + β · γ,

που μπορεί να γραφεί και στη μορφή  α · γ + β · γ=(α + β) · γ 

Π.χ.

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α

x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράψαμε σε απλούστερη μορφή τις παραπάνω αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων».

                            

Μια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσία μια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνει από τη μία πλευρά, είτε γέρνει από την άλλη. Αν α και β παριστάνουν τα βάρη των αντικειμένων του σχήματος, τότε θα ισχύει μία μόνο από τις σχέσεις: α = β, α < β, α > β

Ιδιότητες ισοτήτων

Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας

• προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

• αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

• πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

• διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό (εκτός του μηδέν), τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Δηλαδή:

Εξίσωση ονομάζεται η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x .

Μαθηματική λύση του προβλήματος Ας πούμε ότι κάθε κύβος ζυγίζει x κιλά. Τότε, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς βρίσκονται  3x + 200 γραμμάρια και στο δεξιό δίσκο x + 600 γραμμάρια. Αφού η ζυγαριά ισορροπεί, θα είναι: 3x + 200 = x + 600.

Η παράσταση 3x + 200 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση x + 600 λέγεται δεύτερο μέλος αυτής.

Για να βρούμε τώρα τον άγνωστο αριθμό x, λύνουμε την εξίσωση.

Σε μία εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους.

Λύση:

Η εξίσωση έχει και παρονομαστές.

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2 και 3.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι Ε.Κ.Π.(2,3)= 6.

Η διαδικασία αυτή λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

Να λυθεί η εξίσωση: 2(3 - x) + 4(x - 1) = 2x + 5

Λύση

6 - 2x + 4x - 4 = 2x + 5 

-2x + 4x - 2x= 5 - 6 + 4

             0x= 3

Στην περίπτωση αυτή, δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου,

γιατί όπως γνωρίζουμε, δεν γίνεται διαίρεση με το 0. 

Επομένως, η εξίσωση αυτή δεν έχει καμία λύση.

Μια τέτοια εξίσωση λέγεται αδύνατη.

Να λυθεί η εξίσωση: 6-(2χ +1) = 5 - 2x

Λύση

6-(2χ +1)  = 5-2x

6-2χ -1 = 5-2x

-2χ-2χ = 5-6+1

             0x= 0

Στην περίπτωση αυτή  δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου,

γιατί όπως γνωρίζουμε, δεν γίνεται διαίρεση με το 0.

Η εξίσωση 0x = 0 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x.

Παράδειγμα: 0 • 2 = 0, 0 • 3 = 0, 0 • (-7) = 0 κ.τ.λ.

Δηλαδή, κάθε αριθμός είναι λύση της εξίσωσης.

Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα.

H λύση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων περιλαμβάνει τα επόμενα γενικά βήματα: