Γεωμετρία Α΄ Γυμνασίου

Τα μαθηματικά ξεκινούν με το μέτρημα. Εντούτοις, δεν είναι λογικό να ειπωθεί ότι αυτό το πρωτόγονο μέτρημα ήταν μαθηματικά.

Μόνον όταν καταγράφηκαν κάποια αντίγραφα υπολογισμών, δηλαδή, όταν υπήρξε κάποια αναπαράσταση των αριθμών μπορεί να ειπωθεί ότι άρχισαν τα μαθηματικά.

Τα μαθηματικά στη Βαβυλωνία

Στην Βαβυλωνία τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν από το 2000 π.Χ. Νωρίτερα, αναπτύχθηκε ένα σύστημα αρίθμησης, κατά τη διάρκεια μίας μακράς περιόδου, με βάση το 60. Επέτρεψε να αναπαρασταθούν οσοδήποτε μεγάλοι αριθμοί και κλάσματα και έτσι κατέδειξε την ύπαρξη μίας ισχυρότατης ανάπτυξης των μαθηματικών.
Τουλάχιστον από το 1700 π.Χ. μελετήθηκαν αριθμητικά προβλήματα, όπως οι Πυθαγόρειες τριάδες : α² + β² = γ². Στο πλαίσιο της επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων μελετήθηκαν συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Επίσης, μελετήθηκαν δευτεροβάθμιες εξισώσεις και αυτά τα παραδείγματα οδήγησαν σε μία μορφή αριθμητικής άλγεβρας. Γεωμετρικά προβλήματα σχετικά με όμοια σχήματα, εμβαδά και όγκους μελετήθηκαν επίσης και δόθηκαν τιμές για το π.

Τα μαθηματικά στην Αρχαία Ελλάδα

Η βάση των μαθηματικών των Βαβυλωνίων κληρονομήθηκε από τους Έλληνες και ανεξάρτητη ανάπτυξη από τους Έλληνες άρχισε περί το 450 π.Χ. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη οδήγησαν στην ατομική θεωρία του Δημόκριτου. Μία πιο ακριβής διαμόρφωση των εννοιών ανήγαγε την αντίληψη ότι οι ρητοί αριθμοί δεν ή-
ταν αρκετοί για τη μέτρηση όλων των μηκών. Έτσι, ανήλθε μία γεωμετρική διαμόρφωση των άρρητων αριθμών. Ακόμα, μελέτες των εμβαδών ανέπτυξαν μία μορφή ολοκλήρωσης.
Η θεωρία των κωνικών τομών καταδεικνύει ένα υψηλό επίπεδο μελέτης των καθαρών μαθηματικών από τον Απολλώνιο. Περαιτέρω γεωμετρικές ανακαλύψεις εκπήγασαν από την αστρονομία, όπως για παράδειγμα η τριγωνομετρία.
Η μέγιστη πρόοδος των μαθηματικών από τους Έλληνες υπήρξε από το 300 έως το 200 π.Χ. Μετά από αυτήν την περίοδο η πρόοδος συνεχίστηκε στις ισλαμικές χώρες. Συγκεκριμένα, τα μαθηματικά ήκμασαν στο Ιράν, την Συρία και την Ινδία.

Αυτή η εργασία δεν έμοιαζε με την πρόοδο των Ελλήνων στα μαθηματικά, αλλά επιπρόσθετα με την Ισλαμική ανάπτυξη, διατήρησε και τα Ελληνικά μαθηματικά. Περίπου, από τον 11ο αιώνα ο Adelard of Bath, αργότερα ο Fibonacci, έφεραν τα ισλαμικά μαθηματικά και τις γνώσεις τους για τα Ελληνικά μαθηματικά πίσω στην Ευρώπη. Η μέγιστη πρόοδος των μαθηματικών στην Ευρώπη ξανάρχισε στις αρχές του 16ου αιώνα με τους Pacioli, Cardan, Tartaglia, Ferrari, με την αλγεβρική επίλυση τριτοβάθμιων και τεταρτοβάθμιων εξισώσεων. Οι Copernicus και Galileo επαναστάτησαν τις εφαρμογές των μαθηματικών στη μελέτη του σύμπαντος.
Η πρόοδος στην άλγεβρα είχε σημαντικότατη ψυχολογική επίδραση στον ενθουσιασμό για τη μαθηματική έρευνα, συγκεκριμένα στην άλγεβρα, διαχεομένης από την Ιταλία, στον Steven στο Βέλγιο και τον Viete στη Γαλλία.
Ο 17ος αιώνας αντίκρισε τους Napier και Briggs , αλλά και άλλους να επεκτείνουν σημαντικά την υπολογιστική δύναμη των μαθηματικών με την ανακάλυψη των λογαρίθμων.

Ο Cavalieri έκανε σημαντική πρόοδο για τον απειροστικό λογισμό και ο Descartes προσέθεσε τη δύναμη των αλγεβρικών μεθόδων στη Γεωμετρία. Η πρόοδος του απειροστικού λογισμού συνεχίστηκε από τον Fermat, ο οποίος, μαζί με τον Pascal, άρχισε τη μαθηματική μελέτη των πιθανοτήτων. Παραταύτα, ο λογισμός παρέμεινε το σημαντικότερο θέμα ανάπτυξης των μαθηματικών του 17ου αιώνα. Ο Newton, χτίζοντας επί των εργασιών πρεσβύτερών του μαθηματικών, όπως ο καθηγητής του Barrow, ανέπτυξε το λογισμό ως εργαλείο εκσυγχρονισμού της μελέτης της φυσικής. Οι εργασίες του περιέχουν ένα πλήθος νέων ανακαλύψεων, καταδεικνύοντας την αλληλεπίδραση μεταξύ μαθηματικών, φυσικής και αστρονομίας. Έτσι, η θεωρία της βαρύτητας του Newton, καθώς επίσης και η θεωρία του περί του φωτός, μας οδηγούν στον 18ο αιώνα.

Σ? αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφέρουμε και τον Leibniz, του οποίου, η πολύ περισσότερο ακριβής προσέγγιση του λογισμού - αν και όχι ικανοποιητική ακόμα- έθεσε τις βάσεις για την μαθηματική εργασία του 18ου αιώνα, πολύ περισσότερο από εκείνη του Newton. Η επιρροή του Leibniz στα διάφορα μέλη της οικογένειας
Bernoulli υπήρξε σημαντικότατη από την άποψη την μεγέθυνσης του λογισμού σε δύναμη και ποικιλία εφαρμογών.

Ο σημαντικότερος μαθηματικός του 18ου αιώνα ήταν ο Euler, ο οποίος επιπροσθέτως της δουλειάς του σε ένα εύρος μαθηματικών περιοχών, ανακάλυψε δύο νέους κλάδους, εκείνους του λογισμού των μεταβολών και της διαφορικής γεωμετρίας. Ο Euler υπήρξε επίσης σημαντικός στην επιπλέον ανάπτυξη της έρευνας στη θεωρία αριθμών, η οποία είχε αρχίσει από τον Fermat. Προς το τέλος του 18ου αιώνα, ο Lagrange ξεκίνησε μία αυστηρή θεωρία για τις συναρτήσεις και τη μηχανική. Στο μεταίχμιο, μεταξύ των δύο αιώνων, ο Laplace εμφάνισε σημαντική εργασία στη μηχανική των ουρανίων σωμάτων, αλλά επίσης και οι Monge και Carnot συνετέλεσαν στην ουσιαστική πρόοδο της συνθετικής γεωμετρίας.

Η εξέλιξη κατά τον 19ο αιώνα υπήρξε ταχεία. Θεμελιώδους σημασίας ήταν η εργασία του Fourier περί της θερμότητας. Στη γεωμετρία ο Plucker παρήγαγε ουσιαστική δουλειά στην αναλυτική γεωμετρία και ο Steiner στη συνθετική γεωμετρία. Μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες αναπτύχθηκαν από τους Lobachevsky και Bolyai οδήγησαν στο χαρακτηρισμό της γεωμετρίας από τον Riemann. O Gauss, θεωρούμενος από πολλούς ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, έκανε σημαντικότατες μελέτες. Μεταξύ αυτών, η εργασία του στη διαφορική γεωμετρία, η οποία ήταν επαναστατική για αυτόν τον τομέα. Επίσης, συνέβαλε κατά μεγαλειώδη τρόπο στην αστρονομία και το μαγνητισμό.
Ο 19ος αιώνας ανέδειξε την εργασία του Galois στις εξισώσεις και τη διορατικότητά του στο μονοπάτι που τα μαθηματικά θα ακολουθούσαν στη μελέτη των θεμελιωδών πράξεων. Η εισαγωγή της έννοιας της ομάδας από τον Galois προανήγγειλε τη νέα κατεύθυνση της μαθηματικής έρευνας, η οποία συνεχίστηκε κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα.
Ο Cauchy, εκμεταλλευόμενος την εργασία του Lagrange επί των συναρτήσεων, ξεκίνησε αυστηρή ανάλυση και τη θεωρία των συναρτήσεων μίας μιγαδικής μεταβλητής. Αυτή η εργασία θα συνεχιζόταν από τους Weierstrass και Riemann.
Η αλγεβρική γεωμετρία αναπτύχθηκε από τον Cayley, του οποίου η εργασία στους πίνακες και τη γραμμική άλγεβρα, συμπλήρωσε τις προσπάθειες των Hamilton και Grassmann. Το τέλος του 19ου αιώνα βρήκε τον Cantor να ανακαλύπτει, σχεδόν μόνος του, τη θεωρία συνόλων, ενώ η ανάλυσή του της έννοιας του αριθμού προσήψε ουσιαστικά στη μεγαλειώδη δουλεία επί του θέματος από τους Dedekind και Weierstrass στους άρρητους αριθμούς.
Η ανάλυση οδηγήθηκε από τις απαιτήσεις της μαθηματικής φυσικής και της αστρονομίας. Η εργασία του Lie στις διαφορικές εξισώσεις διαφώτισε τη μελέτη των τοπολογικών ομάδων και της διαφορικής τοπολογίας, ενώ ο Maxwell ήταν εκείνος, ο οποίος εξήρε τις εφαρμογές της ανάλυσης στη μαθηματική φυσική. Επίσης, οι Maxwell, Boltzmann και Gibbs ανέπτυξαν τη στατιστική μηχανική, η οποία οδήγησε στην εργοδική μηχανική.
Η μελέτη των ολοκληρωτικών εξισώσεων καθοδηγήθηκε από τη μελέτη της ηλεκτροστατικής και της θεωρίας δυναμικού. Η εργασία του Fredholm οδήγησε στον Hilbert και την ανάπτυξη της συναρτησιακής ανάλυσης.